ระบบพิกัดเชิงขั้ว

ระบบพิกัดเชิงขั้วในระนาบประกอบด้วย
จุดคงที่ $O$เรียกว่า จุดกำเนิด หรือ จุดขั้ว
และรังสีไปทางขวาของจุดกำเนิด เรียกว่า แกนเชิงขั้ว
ในระบบพิกัดเชิงขั้ว จุด $P$ กำหนดโดย $P(r,t)$ โดยที่ $r$ เป็นระยะจากจุด $O$ ถึง จุด $P$
และ $ t $ เป็นมุมที่วัดจากแกนเชิงขั้วถึง เส้นตรง $OP$ ดังรูป


เครื่องหมายของ $r$ และ $t$ เป็นได้ทั้ง ศูนย์ บวกและลบ มีเงื่อนไขดังต่อไปนี้

ตัวอย่าง

จงลงจุด $A(0,\frac{\pi}{4}),B(1,\frac{\pi}{2}) ,C(-1,\pi) ,D(1,-\frac{\pi}{3}) $ในระบบพิกัดเชิงขั้ว

ความสัมพันธ์ระหว่างระบบพิกัดเชิงขั้วกับระบบพิกัดฉาก


ให้ จุดขั้ว $O$ ในพิกัดเชิงขั้ว เป็นจุด $(0,0)$ ในพิกัดฉาก
และ แกนขั้ว ในพิกัดเชิงขั้ว คือ แกน $x$ ทางด้านบวกในพิกัดฉาก
ดังนั้น จุด ในระนาบ เราจะได้ความสัมพันธ์ ระหว่างพิกัดเชิงขั้ว กับ พิกัดฉาก ดังนี้
สมมติจุด ในระบบพิกัดเชิงขั้วคือ $(r,t)$ แต่ในระบบพิกัดฉากเป็น $(x,y)$ ดังรูป

จะได้ว่า
$ x= rcos(t) , y =rsin(t) $
และ $ r^{2}=x^{2}+y^{2} , tan(t) = \frac{y}{x} $ เมื่อ $x\neq 0 $

ตัวอย่าง

จงแปลงจุด $(1,\frac{\pi}{3}) $ ในพิกัดเชิงขั้ว เป็นพิกัดฉาก

วิธีทำ

จาก $ x= rcos(t) = 1cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}$
และ $ y = rsin(t) = 1sin(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}$
ดังนั้น จุด $(1,\frac{\pi}{3}) $ ในพิกัดเชิงขั้ว คือ จุด $(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}) $ ในพิกัดฉาก

ตัวอย่าง

จงแปลงจุด $(2,2) $ ในพิกัดฉาก เป็นพิกัดเชิงขั้ว

วิธีทำ

จาก $ r^{2}=x^{2}+y^{2} =2^{2}+2^{2}= 8 $
ดังนั้น $ r = \pm \sqrt{8}=\pm 2\sqrt{2} $
และ $tan(t) = \frac{y}{x} =\frac{2}{2}= 1 $
นั่นคือ $t= \frac{\pi}{4} ,\frac{5\pi}{4},...$
ดังนั้น จุด $(2,2) $ ในพิกัดฉาก คือจุด $ (2\sqrt{2},\frac{\pi}{4}) $ ในพิกัดเชิงขั้ว
ข้อสังเกต
จุด $(2,2) $ ในพิกัดฉาก อาจเป็น จุด $ (-2\sqrt{2},\frac{5\pi}{4}) $ในพิกัดเชิงขั้ว
หรือ อาจเป็น จุด $ (-2\sqrt{2},-\frac{3\pi}{4}) $
แต่ในที่นี้เรามักสนใจกรณีที่ $ r > 0 $

ตัวอย่าง

จงแปลงสมการพิกัดฉากต่อไปนี้ เป็นสมการในพิกัดเชิงขั้ว

วิธีทำ

ตัวอย่าง

จงแปลงสมการพิกัดเชิงขั้วต่อไปนี้ เป็นสมการในพิกัดฉาก

วิธีทำ

การเขียนกราฟในระบบพิกัดเชิงขั้ว

การเขียนกราฟในระบบพิกัดเชิงขั้วที่มีสมการแสดงความสัมพันธ์ $r=f(t) $ หรือ $F(r,t)=0$
เรามักพิจารณาหาค่า $t$ ที่ทำให้ $r=0$ เพื่อจะได้รู้ว่า กราฟผ่านจุดขั้วหรือไม่ จากนั้นก็อาจจะวิเคราะห์พิจารณาที่ $t=0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2}, ... $
เพื่อดูว่ากราฟผ่านจุดใดบ้าง
จากนั้นอาจพิจารณาการสมมาตรของกราฟว่ากราฟนี้สมมาตรกับอะไรบ้างซึ่งในการพิจารณาการสมมาตรนั้นเราอาจพิจาณาได้ดังนี้

เส้นโค้งรูปหัวใจ หรือ คาร์ดิออยด์

มีสมการทั่วไปคือ
เมื่อ $a>0 $
กรณี $a=1$ มีกราฟดังนี้


เส้นโค้งลีมาซอง

สมการทั่วไปคือ เมื่อ $a,b >0 $ และ $a \ne b $
กรณี $ 0 < b < a < 2b $ จะได้กราฟของเส้นโค้งลีมาซอง เป็นแบบคล้ายแอปเปิล มีรอยบุ๋ม ดังนี้
เมื่อ $a=1.5, b=1 $ มีกราฟดังนี้


กรณี $ 0 < a < b $ จะได้ กราฟของเส้นโค้งลีมาซอง เป็นแบบมีวงวน หรือ หัวใจมีห่วง ดังนี้
เมื่อ $a=1, b=2 $ มีกราฟดังนี้


เส้นโค้งกลีบกุหลาบ

สมการทั่วไปคือ เมื่อ $a>0$ และ$ n $ เป็นจำนวนนับ
ถ้า $ n $ เป็นจำนวนคี่ จะได้เส้นโค้งรูปกลีบกุหลาบที่มีจำนวนกลีบทั้งหมด $n $ กลีบ
ถ้า $ n $ เป็นจำนวนคู่ จะได้เส้นโค้งรูปกลีบกุหลาบที่มีจำนวนกลีบทั้งหมด $2n $ กลีบ
เช่น การหาแกนกลางของแต่ละกลีบ หาได้ดังนี้

ตัวอย่าง

เขียนกราฟของสมการ $r=2cos(3t)$

วิธีทำ

จากสมการ $r=2cos(3t)$ มีกราฟเส้นโค้งรูปกลีบกุหลาบที่มีจำนวนกลีบทั้งหมด $3 $ กลีบ
หากลีบแรกของกราฟโดยพิจารณา $cos(3t)=1$ ได้ $t=0$
ดังนั้น แกนกลางกลีบแรกอยู่บนแกนขั้ว หรือ $t=0$
แกนกลางถัดไปจะอยู่บนเส้นตรง $0+\frac{2\pi}{3}$ และ $\frac{2\pi}{3}+\frac{2\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}$
ดังรูป

กราฟต่อไปนี้เป็นกราฟของสมการ $r=cos(nt)$ และ กราฟของสมการ $r= sin(nt)$ เมื่อ $n=1,2,3,4$

เส้นโค้งลิมนิสคต

สมการทั่วไปคือ $r^{2}= \pm a^{2}cos(2t)$ หรือ $r^{2}= \pm a^{2}sin(2t)$ เมื่อ $a > 0 $
มีกราฟเป็นรูปเลข 8 ดังนี้

ตัวอย่าง

เขียนกราฟของสมการ $r^{2}= cos(2t)$

วิธีทำ

จากสมการค่า $t$ จะต้องทำให้ $cos(2t) \geq 0$ นั่นคือ $t \in \lbrack -\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4} \rbrack \cup \lbrack \frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4} \rbrack$
และได้กราฟดังรูป

สำหรับกราฟ $r^{2}= -cos(2t)$

กราฟ $r^{2}= sin(2t)$

กราฟ $r^{2}= -sin(2t)$

เส้นโค้งเวียนก้นหอย

สมการทั่วไปคือ เมื่อ $a > 0 $ มีกราฟดังนี้
กรณีกราฟของสมการ $r=t$ เมื่อ $ 0 \leq t \leq 5\pi $

กรณีกราฟของสมการ $r=-t$ เมื่อ $ 0 \leq t \leq 5\pi $

เราสามารถใช้โปรแกรม Sage ในการวาดกราฟพิกัดเชิงขั้วได้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่าง จงเขียนกราฟ ของ $ r=sin(2x) $

โปรแกรมSageMath

ดูทีละช่วง


การหาจุดตัดกันของกราฟในระบบพิกัดเชิงขั้ว

การหาจุดตัดกันของกราฟในระบบพิกัดเชิงขั้วมีความซับซ้อนกว่าการหาจุดตัดกันของกราฟในระบบพิกัดฉาก เนื่องจากจุดหนึ่งจุดในระบบพิกัดเชิงขั้วมีพิกัดได้หลายแบบ ไม่เหมือนในระบบพิกัดฉาก
ดังนั้น ในการหาจุดตัดของกราฟ ในระบบพิกัดเชิงขั้ว ควรพิจารณาดังนี้

ตัวอย่าง

จงเขียนกราฟ $r=1+\cos t$ และ $r=1+\sin t $พร้อมหาจุดตัด ของกราฟทั้งสอง

วิธีทำ

กราฟทั้งสองสมการคือ
2cariod

จากกราฟจะเห็นได้ว่ากราฟทั้งสองตัดกัน 3 จุด หาจุดตัดทั้งสอง จาก ทั้งสองสมการจะได้ว่า $$ 1+\cos t = 1+ \sin t \\ \cos t = \sin t \\ \qquad t = \frac{\pi}{4} \quad หรือ \quad \frac{5 \pi}{4}$$ ซึ่งจะเห็นได้ว่า ไม่มีจุดขั้ว แต่จากรูป จะเห็นว่า กราฟทั้งสองผ่านจุดขั้ว ดังนั้น กราฟทั้งสองตัดกัน 3 จุดคือ
จุดขั้ว จุด $(1+\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\pi}{4}) $ และจุด $(1-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{5 \pi}{4})$

แบบฝึกหัด

จากสมการต่อไปนี้ จงเขียนกราฟในระบบพิกัดเชิงขั้ว พร้อม บอกชื่อกราฟ
$ \begin{align} & 1.\quad r= 2+2 \sin t && 2. \quad r= 3 - 3 \cos t \\ & 3. \quad r = 6 -3 \cos t && 4. \quad r = 8+4 \sin t \\ &5. \quad r = 2- 4 \sin t && 6. \quad r= 5+10 \cos t\\ &7. \quad r = \sin 2t && 8. \quad r= \sin 3t \\ &9. \quad r = \cos 2t && 10. \quad r= \cos 3t \\ \end{align} $
จงเขียนกราฟ พร้อมหาจุดตัดกันของกราฟทั้งสอง ดังต่อไปนี้
$ \begin{align} 11. r= 1+\sin t \quad กับ \quad r = 1-\sin t \\ 12. r= 2+\sin t \quad กับ \quad r = 1-\cos t \\ 13. r= 3 \cos t \quad กับ \quad r = 1-\cos t \\ \end{align} $

การหาพื้นที่บริเวณที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งในระบบพิกัดเชิงขั้ว

จากพื้นที่ของเซกเตอร์ของวงกลมซึ่งมีรัศมี $r$ หน่วย
ที่รองรับความยาวส่วนโค้ง $ a $ หน่วย
ซึ่งมีมุมที่จุดศูนย์กลาง $\theta $
จะได้ พื้นที่ $$A = \frac{1}{2} a r =\frac{1}{2} r^2 \theta $$ ดังรูป

ดังนั้นในการหาพื้นที่บริเวณที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง $r=f(\theta) $ เมื่อ $\theta $ อยู่ในช่วง $ [ \alpha , \beta ] $
โดยที่ $r=f(\theta) \geq 0 $ ในช่วง $ [ \alpha , \beta ] $
สามารถหาได้โดยแบ่งพื้นที่ออกเป็นพื้นที่เซกเตอร์เล็กๆจากนั้นประมาณพื้นที่ด้วยพื้นที่เซกเตอร์ของวงกลม แล้วหาค่าลิมิตเมื่อ $n \to \infty $
ซึ่งจะมีค่าเท่ากับปริพันธ์จำกัดเขต
$$A = \frac{1}{2} \int_{\alpha }^{\beta } r^2 d \theta = \frac{1}{2} \int_{\alpha }^{\beta } [f(\theta)]^2 d \theta $$
ดังทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท

ให้ $r=f(\theta) $ เป็นเส้นโค้งในระบบพิกัดเชิงขั้ว โดยที่ $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง และ $f(\theta) \geq 0 $ บนช่วงปิด $ [ \alpha , \beta ] $
แล้วพื้นที่บริเวณที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง $r=f(\theta) $ และเส้นตรง $ \theta = \alpha และ \theta = \beta$ จะเท่ากับ
$$A = \frac{1}{2} \int_{\alpha }^{\beta } r^2 d \theta = \frac{1}{2} \int_{\alpha }^{\beta } [f(\theta)]^2 d \theta $$

ตัวอย่าง

จากเส้นโค้งกลีบกุหลาบ $r= \sin 2 \theta $ จงหาพื้นที่ของกลีบกุหลาบ 1 กลีบ

วิธีทำ


พิจารณากลีบ 1 กลีบ ของสมการ $r= \sin 2 \theta $ เมื่อ $\theta \in [0,\frac{\pi}{2} ] $
ดังนั้น พื้นที่ กลีบ 1 กลีบคือ $$A = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2} } r^2 d \theta \\ = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2} } ( \sin 2 \theta )^2 d \theta \\ = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2} } \frac{1- \cos 4 \theta }{2} d \theta \\ = \frac{1}{4} \lgroup \theta - \frac{\sin 4 \theta }{4} \rgroup \Bigg |_0^{\frac{\pi}{2}}\\ =\frac{\pi }{8} $$

แบบฝึกหัด

1. จงหาพื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง $r=\sqrt{3} \cos \theta $ และ $r= \sin \theta$
2. จงหาพื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง $r=3 \sin \theta $ และ $r= 1+ \sin \theta $
3. จงหาพื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง $r=3 +2 \cos \theta $ และ $r=3 +2 \sin \theta $
4. จงหาพื้นที่ที่อยู่ภายใน $r=2 + \sin \theta $ แต่อยู่ภายนอก $r=3 \sin \theta $
5. จงหาพื้นที่ที่อยู่ภายใน $r=3 \sin \theta $ แต่อยู่ภายนอก $r= 2 - \sin \theta $